Clase 15 - Ejercicios Árboles

He modificado el archivo con las funciones para calcular opciones por árboles binomiales para que, en el caso de que pongáis la volatilidad a cero, podáis calcular los valores del stock con “u” y “d”. Dentro del archivo podéis ver las soluciones a los ejercicios del último día. Os dejo aquí el archivo.

Clase 14 - Delta

Ejercicios a entregar antes del martes a las 8:20.

1.- Una acción está cotizando a $100. Durante cada uno de los dos próximos períodos de 6 meses (total de 1 año dividido en dos períodos de 6 meses), se espera que suba un 10% o que baje un 10%. El tipo de interés libre de riesgo es 8% por año en composición contínua. ¿Cuál es el valor de una call europea con strike de $100 a 1 año?

2.- ¿Cuál es la Delta de la opción en el primer nodo (hoy)?

3.- Bajo los mismo supuestos que en el caso anterior, ¿cuál es el valor de una put europea a 1 año con strike de 100?

4.- Verifica que la call y la put satisfacen la paridad put-call.

5.- ¿Cuánto vale una put americana con las mismas características que en 1.3?

Os dejo aquí la presentación del último día.

Clase 13 - Valoración de opciones (2)

Ejemplo: árbol binomial para calcular una call sobre un stock que no paga dividendos.

Alternativa 1: montar un portfolio risk-free

S0 = 20

K = 21

r = 12%

T = 3/12

u = 1.1

d = 0.9

El primer día, compramos Δ acciones y vendemos una opción. A vencimiento, si Δ es 0.25, el resultado del portfolio es independiente de dónde acabe la acción: si la acción acaba en 22, el portfolio vale 22 Δ – 1 y si acaba en 18 el portfolio vale 18 Δ… en cualquier caso, el portfolio vale 4.5.

Dado que el portfolio es risk-free, puedo descontar su valor utilizando un risk-free rate (por ejemplo 12%) y, por tanto, el portfolio hoy valdrá 4.5 exp (-12% * 3/12) = 4.37. Si el portfolio hoy vale 4.37 y está compuesto por Δ acciones y una opción… 4.37 = 20Δ – Opción. Despejando en la fórmula, la opción vale 0.63.

Alternativa 2: utilizar probabilidades risk-neutral

Calculamos la probabilidad risk-neutral de subida como p = (exp(rT) – d)/(u – d)… en este caso 0.6523. Calculamos la probabilidad de bajada como 1 – p ó 0.3477. Posteriormente, calculamos el valor medio de la opción a vencimiento: p x 1 + (1-p) x 0 = 0.6523. éste es el valor medio a vencimiento, pero nosotros queremos el valor hoy. Como estamos en un mundo risk-neutral en el que los inversores son indiferentes al riesgo, podemos descontar este valor al tipo libre de riesgo. Por tanto, la opción valdrá hoy 0.6523 Exp (-12% * 3/12) = 0.63.

Para calcular el valor de esta opción por medio de la función en Excel, podéis usar lo siguiente: =+crrbinomial("p","e","c",20,21,3/12,0.12,0.12,0.19063,1). Como veis, he adaptado la volatilidad para que se adapte a u=1.1 y a d=0.9 por medio de la fórmula u=exp(vol*sqrt(T)). A mí me da esta función 0.617 (no cuadro exactamente porque la volatilidad no está cuadrada al último decimal).

Hemos visto también que para una opción call americana sin dividendos NUNCA es óptimo ejercer antes de vencimiento, por eso, el precio de la opción europea y el de la americana coinciden, aunque el subyacente suba mucho. Os adjunto gráficos para K=100, T=1, r = 0.1, b= 0.1, Vol=0.2, nsteps=50.

También hemos visto que no sucede lo mismo con la put:

El diferencial, en este caso, a medida que el subyacente aumenta, converge hacia K – K * Exp(-rT)…

Recordad que por una put americana siempre puedo obtener K, mientras que en una put europea, para obtener K, tengo que esperar a vencimiento.

IMPORTANTE… para calcular el valor de una opción americana, en cada nodo del árbol tendré que comparar el valor que me dan las ramas posteriores del árbol con el valor de ejercitar de forma inmediata la opción.

Finalmente, comenzamos a ver unos primeros conceptos sobre Delta: se trata de cómo cambia la prima de la opción ante cambios en el precio del subyacente. Los traders utilizan la Delta para cubrir sus posiciones en mercado.

Os dejo aquí la presentación.

Clase 12 - Revisión Opciones

Hoy hemos revisado los conceptos que hemos visto hasta ahora de valoración de opciones. Hemos realizado en clase algunos ejercicios (que os adjunto aquí abajo). Si tenéis cualquier duda sobre ellos, por favor, mandadme un mail. Esta semana no hay ejercicios a entregar. Que paséis un buen fin de semana.

1.- ¿Cuál de las siguientes estrategias tiene diagramas de pérdidas y ganancias similares?

I. Una venta de una put y una compra de una call

II. La put protectora (acción más put)

III. Una compra de una call y una inversión en renta fija

IV Una call cubierta (acción más venta de call)

(Este ejercicio es el fundamento de la paridad put-call)

2.- Sea una opción put europea con vencimiento dentro de un año y con prima 2 euros, sobre un subyacente S=20€ y con precio de ejercicio K=18€. La call equivalente vale 2,7 euros, y los tipos de interés a un año están al 4%. Si no se cumple la paridad put-call diseñe un arbitraje diciendo los beneficios obtenidos por éste.

(Lo primero que hemos hecho es revisar si se cumple la paridad put-call; posteriormente, hemos vendido un portfolio y hemos comprado otro obteniendo un beneficio upfront; estas operaciones nos generaban un beneficio cero a vencimiento)

3.- Un inversor observa los siguientes datos para opciones put y call sobre el título AAA con vencimiento dentro de 4 meses, y con precio de ejercicio de 14€: Precio de la call = 2 €, Precio de la put = 1,5 €, Tipo de interés libre de riesgo = 2%, Precio de la acción de AAA = 14,4 € ¿Se cumple la relación de paridad put-call?

4.- Considere un árbol binomial en dos periodos de un año en los que S=30 y puedo subir 14% o bajar 11% en cada periodo. El tipo de interés es del 3%. Encuentre el valor de la opción call europea con K=30.

(Primero hemos dibujado el árbol con los precios de las acciones; posteriormente, hemos calculado los valores de la opción en los nodos a vencimiento; hemos calculado el valor de la opción de dos formas: montando un portfolio risk-free y utilizando probabilidades risk-neutral)

5.- Sobre la acción del Santander, que cotiza a 4,5 EUR, hay diversos derivados con vencimiento en julio y precio de ejercicio de 3,9. Diga cuál de los siguientes precios está mal:

La prima de la call es de 0,7

La prima de la put es de 0,3

La prima de la call es de 0,5

La prima de la put es de 0,4

(Aquí hemos visto cuál es el valor intrínseco de las opciones y, por deducción, el valor temporal… el valor temporal nos da una idea de cuál es la opción correcta)

Clase 11 - Valoración de opciones

Durante la clase de hoy, revisamos los ejercicios que había pendientes de la semana pasada. El primer ejercicio os lo dejo aquí y el segundo aquí.

En la segunda parte de la clase hemos comenzado a ver cómo valorar opciones por medio de árboles binomiales, con una conclusión importante: no necesitamos para nada la probabilidad de subida o bajada del stock en el mundo real. Os dejo la presentación que hemos usado aquí y el archivo Excel que hemos visto con el código de Visual Basic para la valoración aquí.

Nos vemos el próximo jueves a las 8:30.

Clase 10 - Estrategias con opciones

Durante la clase de hoy, hemos revisado estrategias con opciones. Recordad que hemos revisado tres tipos de estrategias: (1) activo + opciones, (2) Spreads con opciones y (3) combinaciones de opciones. Os dejo aquí el archivo Excel que hemos elaborado durante la clase y aquí la presentación.

En la próxima clase volveremos al aula O-311. En la próxima clase comenzaremos a revisar cómo valorar opciones por medio de árboles binomiales.

Ejercicios para la próxima semana (a entregar vía email antes de las 8.20 del martes):

1.- Una opción call europea con strike EUR20 y un vencimiento de 3 meses vale EUR3. La put europea con el mismo vencimiento y el mismo strike también vale EUR3. Si el tipo de interés libre de riesgo es del 10% anual para todos los plazos y la acción cotiza a EUR19… cuál sería la oportunidad de arbitraje que se podría aprovechar? Y si se espera un dividendo de EUR1 en un mes, cuál sería la oportunidad de arbitraje a aprovechar?

2.- Elabora un gráfico y una tabla con el beneficio, teniendo en cuenta las primas, de una mariposa formada con las siguientes puts:

	Put 1	Put 2	Put 3
Strike	55	60	65
Prima	3	5	8

Buen fin de semana!

Clase 9 - Básicos sobre opciones

Hoy comenzamos la clase repasando los últimos avances de Mercado (informe de Oliver Wyman, efecto en Bolsa para los Bancos, posible bajada de rating por parte de Moody’s a España…). Como curiosidad, os adjunto el gráfico de Banco Popular para los últimos 5 días:

Recordad que los Tests de Stress han mostrado que este Banco tendría escasez de capital en caso de escenarios de stress, por lo que han decidido cancelar el dividendo y ampliar capital.

Aquí tenéis la tabla con las necesidades para cada Banco:

Posteriormente, hemos visto algunos conceptos básicos de opciones y cuáles son los pay-offs de las principales. Aquí me gustaría dejar claro lo que ocurre cuando compro/vendo la opción bajo tres escenarios.

	Call Comprada	Call Vendida	Put Comprada	Put Vendida
Sin Subyacente	Apuesto a subidas del subyacente; pago prima y recibo max(0; St – K)	Apuesto a mantenimiento o bajada del subyacente; recibo la prima y pago max(0; St – K)	Apuesto a bajadas del subyacente; pago prima y recibo max(0; K – St)	Apuesto a mantenimiento o subida del subyacente; recibo la prima y pago max(0; K – St)
Largo del Subyacente	Apuesto a subidas del subyacente y me apalanco en esas subidas; pago prima y recibo max(0; St – K) más la revalorización del subyacente. Especulación	Estoy cómodo con mi posición a largo en el subyacente, pero a corto, pienso que puede bajar de forma limitada o mantenerse; recibo la prima y si sube por encima del strike, la pérdida en la opción se compensa con la subida en el subyacente. Esto es poco usado	Estoy cómodo con mi posición a largo en el subyacente, pero a corto, pienso que puede bajar o mantenerse; quiero cubrirme; si sube el subyacente, me llevo la revalorización del subyacente  y si baja, la put me compensa la pérdida. Cobertura	Si sube el subyacente, me llevo la revalorización; si baja, pierdo doblemente por la bajada del subyacente y por la put. Ingreso la prima. Esto es poco usado
Corto del Subyacente	Estoy cómodo con mi posición a largo plazo en el subyacente, pero a corto plazo, pienso que puede subir o mantenerse; quiero cubrirme; si baja el subyacente, gano por el subyacente  y si sube, la call me compensa la pérdida. Cobertura.	Si baja el subyacente, me llevo la bajada; si sube, pierdo doblemente por la subida del subyacente y por la call. Ingreso la prima. Esto es poco usado.	Apuesto a bajadas del subyacente y me apalanco en esas bajadas; pago prima y recibo max(0; K – St) más la bajada del subyacente. Especulación	Estoy cómodo con mi posición a largo plazo en el subyacente, pero a corto plazo, pienso que puede subir de forma limitada o mantenerse; recibo la prima y si baja por debajo del strike, la pérdida en la opción se compensa con la bajada en el subyacente. Esto es poco usado

Luego hemos pasado a revisar cómo valorar opciones sin valorarlas. Hemos visto qué es el Valor Implícito y qué es el Valor Temporal y de qué dependen. También hemos visto qué arbitraje puede llevarse a cabo si no se cumple la paridad PUT-CALL. Recordad que hemos visto esta paridad para un stock sin dividendos y con opciones europeas. El próximo día veremos cómo se extiende a stocks que paguen dividendos y qué conclusiones podemos sacar de esta paridad para opciones americanas.

Os dejo aquí la presentación de hoy.

Nos vemos el próximo jueves a las 8.30 en el Aula Polavieja.