Clase 13 - Valoración de opciones (2)

Ejemplo: árbol binomial para calcular una call sobre un stock que no paga dividendos.

Alternativa 1: montar un portfolio risk-free

S0 = 20

K = 21

r = 12%

T = 3/12

u = 1.1

d = 0.9

El primer día, compramos Δ acciones y vendemos una opción. A vencimiento, si Δ es 0.25, el resultado del portfolio es independiente de dónde acabe la acción: si la acción acaba en 22, el portfolio vale 22 Δ – 1 y si acaba en 18 el portfolio vale 18 Δ… en cualquier caso, el portfolio vale 4.5.

Dado que el portfolio es risk-free, puedo descontar su valor utilizando un risk-free rate (por ejemplo 12%) y, por tanto, el portfolio hoy valdrá 4.5 exp (-12% * 3/12) = 4.37. Si el portfolio hoy vale 4.37 y está compuesto por Δ acciones y una opción… 4.37 = 20Δ – Opción. Despejando en la fórmula, la opción vale 0.63.

Alternativa 2: utilizar probabilidades risk-neutral

Calculamos la probabilidad risk-neutral de subida como p = (exp(rT) – d)/(u – d)… en este caso 0.6523. Calculamos la probabilidad de bajada como 1 – p ó 0.3477. Posteriormente, calculamos el valor medio de la opción a vencimiento: p x 1 + (1-p) x 0 = 0.6523. éste es el valor medio a vencimiento, pero nosotros queremos el valor hoy. Como estamos en un mundo risk-neutral en el que los inversores son indiferentes al riesgo, podemos descontar este valor al tipo libre de riesgo. Por tanto, la opción valdrá hoy 0.6523 Exp (-12% * 3/12) = 0.63.

Para calcular el valor de esta opción por medio de la función en Excel, podéis usar lo siguiente: =+crrbinomial("p","e","c",20,21,3/12,0.12,0.12,0.19063,1). Como veis, he adaptado la volatilidad para que se adapte a u=1.1 y a d=0.9 por medio de la fórmula u=exp(vol*sqrt(T)). A mí me da esta función 0.617 (no cuadro exactamente porque la volatilidad no está cuadrada al último decimal).

Hemos visto también que para una opción call americana sin dividendos NUNCA es óptimo ejercer antes de vencimiento, por eso, el precio de la opción europea y el de la americana coinciden, aunque el subyacente suba mucho. Os adjunto gráficos para K=100, T=1, r = 0.1, b= 0.1, Vol=0.2, nsteps=50.

También hemos visto que no sucede lo mismo con la put:

El diferencial, en este caso, a medida que el subyacente aumenta, converge hacia K – K * Exp(-rT)…

Recordad que por una put americana siempre puedo obtener K, mientras que en una put europea, para obtener K, tengo que esperar a vencimiento.

IMPORTANTE… para calcular el valor de una opción americana, en cada nodo del árbol tendré que comparar el valor que me dan las ramas posteriores del árbol con el valor de ejercitar de forma inmediata la opción.

Finalmente, comenzamos a ver unos primeros conceptos sobre Delta: se trata de cómo cambia la prima de la opción ante cambios en el precio del subyacente. Los traders utilizan la Delta para cubrir sus posiciones en mercado.

Os dejo aquí la presentación.